Tutorial GeoGebra: Mencari Volume Benda Putar diantara Dua Kurva

Konsep pemahaman siswa tentang materi volume benda putar seringkali tidak memuaskan. Salah satu penyebab utamanya adalah metode pengajaran yang masih menggunakan papan tulis 2D sebagai media untuk menggambar 3D sehingga siswa sulit untuk membayangkan/memvisualisasikan konsep volume benda putar. Karena itu, penggunaan software GeoGebra (yang mampu melakukan simulasi gambar 3D) akan sangat membantu siswa untuk bisa memahami konsep materi volume benda putar dengan lebih baik.

Nah, kali ini saya akan membahas tentang cara mencari volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva, misal kita ingin mencari volume benda putar dari dua kurva berikut ini:

Untuk membuatnya, siapkan lembar GeoGebra dengan isian:

1. Kurvanya

2. Slider sudut

3. Tampilan 3D

4. Masukkan langsung di menu input:

    Surface[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, x(A), x(B), b, 0, α]

    Surface[a, g(a) cos(b), g(a) sin(b), a, x(A), x(B), b, 0, α]

Hasilnya akan terlihat seperti dibawah ini:

Untuk melihat simulasi pada benda putarnya, anda dapat melakukan drag pada slider sudutnya.

Read More

Tutorial GeoGebra: Mencari Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu y

Pada topik volume benda putar, seringkali kita menemui soal benda datar yang diputar mengelilingi sumbu $x$, tapi jarang ditemui yang diputar mengelilingi sumbu $y$. Hal penting yang perlu diperhatikan adalah saat mencari volume benda putar yang mengelilingi sumbu $y$ adalah kurva bukan berbentuk $f(x)=y$ tapi berbentuk $f(y)=x$, dan volume silindernya tidak berbentuk $\pi [f(x)]^2 \Delta x$, tapi berbentuk $\pi [f(y)]^2 \Delta y$, sehingga volume benda sebenarnya ialah:

$V=\pi \int_a^b[f(y)]^2dy=\pi \int_a^bx^2dy$

Karena itu kita harus mencari fungsi $f(y)=x$ dulu, tapi disini akan bermasalah karena GeoGebra tidak mendukung variabel $y$ secara langsung, solusinya adalah kita akan menggunakan fungsi invers, lalu fungsi invers tadi akan kita sembunyikan karena ia hanya sebagai alat untuk mencari volume benda putar yang mengelilingi sumbu $y$.

Misalkan kita ingin mencari volume benda putar dari $f(x)=x^3+1$ dan diputar mengeliling sumbu $y$ yakni  $y= -1$ dan $y=2$.

Step-by-step:

1. Buka aplikasi GeoGebra

2. Buat fungsi $f(x)=x^3+1$;

3. Lalu mencari invers dengan Invert(f) dan sembunyikan hasilnya;

4. Buat slider sudut $\alpha$;

5. Buat lapisan luar benda putarnya dengan Surface[g(a) cos(b), a, g(a) sin(b), a, -1, 2, b, 0, α];

6. Menggeser slidernya untuk melihat hasilnya

Read More

Simulasi Integral Tingkat Dua Berbasis Applet Geogebra

Pada kesempatan kali ini saya ingin membagikan sebuah applet yang dibuat menggunakan Geogebra, applet ini berguna untuk melakukan simulasi integral tingkat dua

 

Read More

Ringkasan Jurnal: "An e-Learning Model for Teaching Mathematics on an Open Source Learning Platform"

Ringkasan Jurnal: Yong, J. A & Akugizibwe, E. (2018). An e-Learning Model for Teaching Mathematics on an Open Source Learning Platform. International Review of Research in Open and Distributed Learning, Vol. 2, No. 5.

Dewasa ini, matematika memegang peranan penting pada sistem pendidikan dan perkembangan teknologi di sebuah Negara. Tantangan untuk  mengajar matematika secara aktif dan menarik menjadi hal yang perlu diperhatikan, tantangan selanjutnya adalah membentuk cara mengajar yang kreatif dengan penggunaan aplikasi yang bertujuan untuk meningkat pemahaman siswa juga perlu diperhatikan.

Pada tulisan ini, kami memperkenalkan sebuah model e-learning matematika bernama MCIEC (motivation, context, interactivity, evaluation, dan connectivity) yang bertujuan untuk membentuk media pembelajaran matematika menjadi lebih menarik, penuh arti dan dapat di terapkan ke semua peserta didik. Pengajaran matematika di luar tingkat dasar di sebagian besar negara-negara berkembang terutama menekankan siswa untuk mendapatkan nilai ujian nasional tinggi daripada menghubungkan konten dengan keterampilan pemecahan masalah kehidupan nyata.

Dengan tujuan untuk mengatasi tantangan ini, model MCIEC menekankan pendekatan yang fleksibel untuk mengajar matematika di mana motivasi, konteks, dan evaluasi dinamis adalah tulang punggung dari setiap desain konten atau penyampaian. Model ini menempatkan tanggung jawab yang lebih besar kepada para guru untuk menjadi lebih inovatif dan menciptakan materi yang sesuai dengan kemampuan dan lingkungan peserta didik. Selain itu, model ini mengharuskan guru untuk memberikan lebih banyak waktu dan upaya untuk menjelaskan relevansi konten matematika sebelum pindah ke konten matematika yang lain. Ketika minat, motivasi, dan konteks tercapai maka lebih mudah bagi siswa untuk berupaya memahami matematika.

Kemungkinan Penerapan:

Praktik e-learning sudah mulai diterapkan dalam proses belajar mengajar. Untuk e-learning matematika yang efektif, seseorang membutuhkan perangkat lunak yang tepat serta prinsip dan teori pembelajaran yang diketahui banyak orang untuk membuat konten matematika yang sesuai dengan kebutuhan peserta didik dan niat keseluruhan guru. Di negara maju, konektivitas internet yang tinggi telah memungkinkan sebagian besar universitas dan lembaga pengajaran lainnya untuk sepenuhnya menerapkan e-learning. Namun demikian, praktik e-learning belum mencapai potensi penuh di negara-negara berkembang, sebagian karena biaya awal yang tinggi untuk merancang dan menyiapkan platform serta konektivitas internet yang rendah di negara-negara berkembang.

Untuk mengatasi hambatan dalam penerapan e-learning matematika di negara-negara berkembang, pelaksana e-learning perlu fokus pada tiga aspek e-learning, yaitu biaya, kegunaan, dan dampak pada pembelajaran. Platform e-learning open source adalah alternatif yang substansial untuk memenuhi tuntutan baru ini. Ada banyak platform open source termasuk eXelearning, Xerte Online Toolkits (XOT), dan Course Builder (Berking, 2016). Dengan platform ini, instruktur dapat mendesain konten matematika yang sesuai dengan pendekatan belajar mengajar mereka. Mereka juga menyediakan akses pengembangan e-learning berfitur lengkap untuk membuat bahan pembelajaran interaktif (Yi & Trevino, 2015). Selain itu, konten yang dihasilkan darinya dapat dengan mudah diekspor ke situs web lain atau platform e-learning seperti Moodle.

Kemungkinan penelitian lanjutan:

Upaya untuk meningkatkan penggunaan e-learning di negara-negara berkembang sedang mengalami kemajuan, sebagian besar pekerjaannya bersifat umum dan hanya sedikit yang menekankan e-learning matematika secara khusus (Juan, Huertas, Cuypers, & Loch, 2012; Namukasa, Quinn, & Kaahwa, 2010; Elijah, 2012). Selain itu, ada kesenjangan besar untuk mengisi sehubungan dengan merancang model e-learning matematika baru yang difokuskan pada revitalisasi minat, kreativitas, dan penerapan pengetahuan matematika untuk kemajuan teknologi di negara-negara berkembang (Barnes & Venter, 2008).

Hal ini berguna untuk memperkenalkan model pembelajaran matematika kepada negara-negara berkembang sebagai model yang cocok dan efektif untuk era digital modern. Pertama, kami secara singkat mengeksplorasi tiga teori penting pembelajaran untuk dipertimbangkan sebagai dasar dari model. Selanjutnya, kami mengusulkan model dan membahas kelayakan penerapan model pada platform e-learning open source. Untuk penelitian lanjutan, kami percaya bahwa jawaban dari dua pertanyaan berikut ini layak untuk dikembangkan: (i) teori dasar apa yang cocok untuk e-learning matematika yang efektif dalam model? Dan (ii) fitur utama apa yang harus ditawarkan oleh platform e-learning matematis yang membuat matematika lebih dapat dipahami oleh peserta didik?

Read More

Soal Kalkulus dan Pembahasan (Bagian 2)

Postingan ini melanjutkan soal-soal yang ada di bagian 1, saya menyarankan agar anda melihat bagian 1 terlebih dulu sebelum belajar ke bagian 2, jika anda belum melihat bagian 1 anda bisa klik disini.

Soal No. 6

Apabila $f(x)$ dan $g(x)$ kedua-duanya kontinu di $[a, b]$ dan $f(x)$ ialah fungsi yang monoton naik. Jika $0 \le g(x) \le 1$, maka buktikan \[ \int_a^{a+\int_a^b g(t) \,dt} f(x) \,dx \le \int_a^b f(x) g(x) \,dx \]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Definisikan

\[h(s) = \int_a^{a+\int_a^s g(t) \,dt} f(x) \,dx - \int_a^s f(x) g(x) \,dx \implies \]
\[h'(s) = f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right)g(s) - f(s)g(s) \implies \]
\[h'(s) = g(s)\left(f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right) - f(s)\right)\]

Karena
\[a+\int_a^s g(t) \,dt \le a +  (s - a) = s\]
maka haruslah
\[f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right) \le f(s)\]
ini mengakibatkan
\[h'(s) =  g(s)\left(f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right) - f(s)\right) \le 0\].
Sehingga didapat, $h(s)$ ialah fungsi yang monoton turun. Karena $h(a) = 0$, maka didapat $h(s) \le 0$ untuk $s \ge a$. Jadi,

\[h(s) = \int_a^{a+\int_a^s g(t) \,dt} f(x) \,dx - \int_a^s f(x) g(x) \,dx \le 0 \implies\]
\[\int_a^{a+\int_a^b g(t) \,dt} f(x) \,dx \le \int_a^b f(x) g(x) \,dx \]

Soal No. 7

Hitung nilai dari \[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta\]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Misalkan nilai dari integral di atas adalah $I$. Kemudian substitusi $u = \frac{\pi}{2} - \theta $ sehingga didapat

\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\cos{\theta})} \,d\theta \]

Ini mengakibatkan,

$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\cos{\theta})} \,d\theta= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta}\cos{\theta})} \,d\theta$

$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{2\theta}} - \ln{2} \,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{2\theta})} \,d\theta - \frac{\pi \ln{2}}{2}$

$= \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta - \frac{\pi \ln{2}}{2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta - \frac{\pi \ln{2}}{2} = I - \frac{\pi \ln{2}}{2}$

$\implies I =  -\frac{\pi \ln{2}}{2}$

Soal No. 8

Apabila $f(x) = x^6 - 6x^2 + 6x - 7$ dan polinomial ini mempunyai $3$ titik kritis. Carilah persamaan parabola yang melalui tiga titik kritis itu

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Jelas bahwa $f'(x) = 6x^5 - 12x + 6$. Kemudian perlu diperhatikan bahwa fungsi $g(x) = f(x) - h(x)f'(x)$ tidak merubah titik - titik yang dilewati oleh parabola tersebut. Akibatnya, ambil $h(x) = \frac{x}{6}$ sehingga didapat

\[ g(x) = x^6 - 6x^2 + 6x - 7 - \frac{x}{6} (6x^5 - 12x + 6)\]\[ g(x) = -4x^2 + 5x - 7 \] Jadi, pers parabola yang melalui ketiga titik tersebut adalah $y = -4x^2 + 5x - 7$

Soal No. 9

Tentukan pasangan terurut $( \alpha, \beta)$ dengan $\beta \ne 0$ sedemikian hingga \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n^2]{1!2! \ldots n!}}{n^{\alpha}} = \beta \]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Karena

$ \ln{(1!2! \ldots n!)} = n\ln{1} + (n-1)\ln{2} + (n-2)\ln{3} + \ldots + \ln{n}$ \[=  n\ln{\frac{1}{n}} + (n-1)\ln{\frac{2}{n}} + (n-2)\ln{\frac{3}{n}} + \ldots\] \[+ \ln{\frac{n}{n}} + \frac{n(n+1)}{2} \ln{n}\]

Hal ini mengakibatkan

\[ \frac{\ln{(1!2! \ldots n!)}}{n^2}   = \frac{n+1}{2n} \ln{n} + \sum_{i=1}^n \frac{n-i}{n^2} \ln{\frac{i}{n}} \] \[=  \frac{n+1}{2n} \ln{n} + \int_0^1 (1 - x) \ln{x} \,dx\]\[ = \frac{n+1}{2n} \ln{n} - \frac{3}{4}\]

Dari persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa limit akan konvergen jika $\alpha = \frac{1}{2}$. Sehingga, diperoleh $\beta = e^{-\frac34}$

Soal No. 10

Tentukan nilai maksimum dari \[ \int_0^1 f(x)^3 \,dx\] dengan batasan \[-1 \le f(x) \le 1, \quad \int_0^1 f(x) \,dx = 0\]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Karena

\[\int_0^1 (f(x) - 1) \left( f(x) + \frac{1}{2} \right)^2 \,dx \le 0 \implies\]
\[ \int_0^1 f(x)^3 - \frac{3}{4} f(x) - \frac{1}{4} \,dx \le 0 \implies\]
\[\int_0^1 f(x)^3 \,dx \le \int_0^1 \frac{3}{4} f(x) + \frac{1}{4} \,dx = \frac{1}{4} \]

maka diperoleh nilai maks integral ialah $\frac{1}{4}$ dan kesamaan terjadi saat $f(x) = 1$ atau $f(x) = -2$.

Soal No. 11

Asumsikan $f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin{nx}}{n!}$. Tentukan $f\left( \frac{\pi}{3} \right)$

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Karena

\[ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin{nx}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \text{Im} \left(\frac{e^{ix}}{n!} \right) =  \text{Im} \left( e^{e^{ix}} \right ) = e^{\cos{x}} \sin{\sin{x}}  \]

maka diperoleh $f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{e} \sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Read More

Soal Kalkulus dan Pembahasan (Bagian 1)

Bagi kamu yang kuliah di fakultas MIPA atau Teknik tentu saja kamu tidak asing dengan yang namanya kalkulus, mata kuliah ini hampir dipastikan akan mewarnai kehidupan kuliahmu di awal-awal semester.

Pada kesempatan kali ini saya ingin berbagi beberapa soal kalukus serta pembahasannya, saya menyarankan agar anda menjawab soal ini tanpa melihat solusinya terlebih dulu, jika sudah mencari solusinya tetapi tidak dapat, maka barulah melihat solusinya, selamat belajar

Soal No. 1

Misalkan $a > -1$ dan $b > -1$, carilah nilai

\[\lim_{n \rightarrow \infty} n^{b-a} \frac{1^a + 2^a + ... + n^a}{1^b + 2^b + ... + n^b}\]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Jika bentuk diatas disusun ulang maka akan menjadi

\[ \lim_{n \rightarrow \infty}  \frac{\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^a}{\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^b} = \lim_{n \rightarrow \infty}  \frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^a}{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^b} \]

lalu gunakan definisi integral jumlahan riemann lalu perhatikan jika $a > -1$ dan $b > -1$ maka kita dapat menulis

\[ LHS = \frac{\int_0^1 x^a dx}{\int_0^1 x^b dx} = \frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{1}{b+1}} = \frac{b+1}{a+1} \]

Soal No. 2

Carilah nilai dari \[ \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin (2 \pi en!) \]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Perhatikan MacLaurin Series dari $e$, lalu kita dapat menulis

\[ n \sin (2 \pi en!) = n \sin \left( 2 \pi n! \left( \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} \right) \right)\] \[= n \sin \left( 2 \pi \left( B + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... \right) \right) \]

dengan $B$ adalah bagian bulat. Karena fungsi sin adalah fungsi periodik berperiode $2 \pi$, maka $2\pi B$ bisa dicoret. Sehinga diperoleh

\[ LHS =  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \left( 2 \pi \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... \right) \right)}{\frac{1}{n}} = 2 \pi  \]

Soal No. 3

Tentukan kekonvergenan deret berikut (jika ia konvergen) \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln{n}^{\ln{\ln{n}}})} \]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Sebelumnya, kita perlu membuktikan $\ln x < \sqrt{x}$ untuk setiap $x \in [1, \infty)$ terlebih dulu (diserahkan kepada pembaca). Dengan memakai ketaksamaan yang telah dibuktikan, bentuk sigma dapat dibuat menjadi sederhana seperti berikut

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{\ln{\ln{n}}.\ln{\ln{n}}}} =  \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{(\ln{\ln{n}})^2}} >  \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{\ln n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \]

Jelas bahwa ini tidak konvergen atau lebih tepatnya ini divergen.

Soal No. 4

Diberikan barisan $x_n$ , dengan \[ x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots + \sqrt{n}}}} \]. Buktikan bahwa $x_n$ konvergen.

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Perlu diperhatikan bahwa $\sqrt{\alpha} \le \frac{1 + \alpha}{2}$ untuk semua bilangan positif $\alpha$. Berakibat,

\[ x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots + \sqrt{n}}}} \le \sum_{i = 1}^n \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n + 2}{2^n} < 2 \]

Karena barisan $x_n$ adalah barisan yang monoton naik sekaligus terbatas diatas, maka barisan $x_n$ konvergen. $Q.E.D$

Soal No. 5

Tentukan hasil dari penjumlahan \[ 1 + \frac12 + \frac13 - \frac14 - \frac15 - \frac16 + \frac17 + \frac18 + \frac19 - \frac{1}{10} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \ldots  \]

Solusi

Saya menyerah, tampilkan solusinya

Misalkan hasil penjumlahannya adalah suatu bilangan $B$. Kemudian, asumsikan

\[ A = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac 16 + \frac17 - \frac18 + \frac19 - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \ldots\]

Perlu diperhatikan bahwa $A = \ln{2}$ (Nilai ini didapat dari maclaurin series $\ln{(1+x)}$ di titik $x = 1$). Lalu perhatikan bahwa

\[ A + B = 2 \left( 1 + \frac13 - \frac14 - \frac16 + \frac17 + \frac19 - \frac{1}{10} - \ldots  \right) \] \[ =  2 + \sum_{i = n}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}2}{(3n)(3n + 1)} = 2 + \frac23 \int_0^1 \ln{(1 + x^3)} \]

Tinggal kenakan integral parsial untuk menemukan nilai $B$.

Read More

Pertemuan ke-8: Permasalahan Kontrol Optimal yang Berbentuk Finite-Time Linear Quadratic Regulator System: Time-Varying Case dan Penyelesaiannya Menggunakan Matriks Persamaan Diferensial Riccati

Ini adalah pertemuan terakhir pada seri Mata Kuliah Metode Kontrol Optimal, pada pertemuan ini akan dibahas langkah-langkah menyelesaikan permasalahan kontrol optimal yang berbentuk Finite-Time Linear Quadratic Regulator System: Time-Varying Case.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:

1. Materi Penyelesaian Menggunakan Matriks Persamaan Diferensial Riccati

2. Program Matlab Penyelesaian Menggunakan Matriks Persamaan Diferensial Riccati

Di pertemuan 8 ini diberikan Jawaban Soal Quiz dan juga dilaksanakan UTS, dapat didowload pada link dibawah ini:
1. Jawaban Soal Quiz
2. Soal UTS

Read More

Pertemuan ke-7: Permasalahan Kontrol Optimal Pada Kasus Free-Final Time dan Independent Free Final State Sistem

Pada pertemuan kali ini akan dibahas contoh soal dengan tipe (e) Free-final time dan independent free final state sistem.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:

1. Materi Free-final time dan independent free final state sistem

2. Program Free-final time dan independent free final state sistem

Di pertemuan 7 ini juga dilaksanakan Quiz, soalnya dapat didowload pada link dibawah ini:
1. Soal Quiz

Read More

Pertemuan ke-6: Permasalahan Kontrol Optimal Pada Kasus Free-Final Time dan Dependent Free Final State Sistem

Pada pertemuan kali ini akan dibahas contoh soal dengan tipe (d) Free-final time dan dependent free final state sistem.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:

1. Materi Free-final time dan dependent free final state sistem

2. Program Free-final time dan dependent free final state sistem

Read More

Pertemuan ke-5: Permasalahan Kontrol Optimal Pada Kasus Fixed-Final Time dan Free Final State Sistem

Pada pertemuan kali ini akan dibahas contoh soal dengan tipe (c) Fixed-final time dan free final state sistem.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:
1. Materi Fixed-Final Time dan Free Final State Sistem
2. Program Fixed-Final Time dan Free Final State Sistem

Read More

Pertemuan ke-4: Permasalahan Kontrol Optimal Pada Kasus Free-Final Time dan Fixed Final State Sistem

a pertemuan kali ini akan dibahas contoh soal dengan tipe (b) Free Final time dan fixed final state sistem.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:

1. Materi Free-final time dan fixed final state sistem

2. Program Free-final time dan fixed final state sistem

Read More

Pertemuan ke-3: Permasalahan Kontrol Optimal Pada Kasus Fixed-Final Time dan Fixed Final State Sistem

Pada pertemuan kali ini akan dibahas contoh soal dengan tipe (a) Fixed-final time dan fixed final state sistem.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:

1. Materi Fixed-final time dan fixed final state sistem

2. Program Fixed-final time dan fixed final state sistem

Read More

Pertemuan ke-2: Solusi Permasalahan Kontrol Optimal Menggunakan Prinsip Minimum Potryagin

Pada sesi ini, akan digunakan pendekatan variational untuk menyelesaikan permasalahan sistem kontrol optimal, dan dalam prosesnya kan di perkenalkan fungsi Hamiltonian, solusi menggunakan teknik ini disebut Prinsip Minimum Pontryagin. Perhatikan bahwa sistem kontrol optimal dengan performance index yang memuat final (terminal) cost function sebagai tambahan pada integral cost function. Permasalahan kontrol optimal ini disebut permasalahan Bolza.

Materi selengkapnya dapat dibaca pada modul dibawah ini:

Materi Solusi Permasalahan Kontrol Optimal Menggunakan Prinsip Minimum Potryagin

Read More