Bagi kamu yang kuliah di fakultas MIPA atau Teknik tentu saja kamu tidak asing dengan yang namanya kalkulus, mata kuliah ini hampir dipastikan akan mewarnai kehidupan kuliahmu di awal-awal semester.
Pada kesempatan kali ini saya ingin berbagi beberapa soal kalukus serta pembahasannya, saya menyarankan agar anda menjawab soal ini tanpa melihat solusinya terlebih dulu, jika sudah mencari solusinya tetapi tidak dapat, maka barulah melihat solusinya, selamat belajar
Soal No. 1
Misalkan $a > -1$ dan $b > -1$, carilah nilai
\[\lim_{n \rightarrow \infty} n^{b-a} \frac{1^a + 2^a + ... + n^a}{1^b + 2^b + ... + n^b}\]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Jika bentuk diatas disusun ulang maka akan menjadi
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^a}{\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^b} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^a}{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left( \frac{i}{n} \right)^b} \]
lalu gunakan definisi integral jumlahan riemann lalu perhatikan jika $a > -1$ dan $b > -1$ maka kita dapat menulis
\[ LHS = \frac{\int_0^1 x^a dx}{\int_0^1 x^b dx} = \frac{\frac{1}{a+1}}{\frac{1}{b+1}} = \frac{b+1}{a+1} \]
Soal No. 2
Carilah nilai dari \[ \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin (2 \pi en!) \]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Perhatikan MacLaurin Series dari $e$, lalu kita dapat menulis
\[ n \sin (2 \pi en!) = n \sin \left( 2 \pi n! \left( \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} \right) \right)\] \[= n \sin \left( 2 \pi \left( B + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... \right) \right) \]
dengan $B$ adalah bagian bulat. Karena fungsi sin adalah fungsi periodik berperiode $2 \pi$, maka $2\pi B$ bisa dicoret. Sehinga diperoleh
\[ LHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \left( 2 \pi \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... \right) \right)}{\frac{1}{n}} = 2 \pi \]
Soal No. 3
Tentukan kekonvergenan deret berikut (jika ia konvergen) \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln{n}^{\ln{\ln{n}}})} \]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Sebelumnya, kita perlu membuktikan $\ln x < \sqrt{x}$ untuk setiap $x \in [1, \infty)$ terlebih dulu (diserahkan kepada pembaca). Dengan memakai ketaksamaan yang telah dibuktikan, bentuk sigma dapat dibuat menjadi sederhana seperti berikut
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{\ln{\ln{n}}.\ln{\ln{n}}}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{(\ln{\ln{n}})^2}} > \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{e^{\ln n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \]
Jelas bahwa ini tidak konvergen atau lebih tepatnya ini divergen.
Soal No. 4
Diberikan barisan $x_n$ , dengan \[ x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots + \sqrt{n}}}} \]. Buktikan bahwa $x_n$ konvergen.
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Perlu diperhatikan bahwa $\sqrt{\alpha} \le \frac{1 + \alpha}{2}$ untuk semua bilangan positif $\alpha$. Berakibat,
\[ x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \ldots + \sqrt{n}}}} \le \sum_{i = 1}^n \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n + 2}{2^n} < 2 \]
Karena barisan $x_n$ adalah barisan yang monoton naik sekaligus terbatas diatas, maka barisan $x_n$ konvergen. $Q.E.D$
Soal No. 5
Tentukan hasil dari penjumlahan \[ 1 + \frac12 + \frac13 - \frac14 - \frac15 - \frac16 + \frac17 + \frac18 + \frac19 - \frac{1}{10} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \ldots \]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Misalkan hasil penjumlahannya adalah suatu bilangan $B$. Kemudian, asumsikan
\[ A = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac 16 + \frac17 - \frac18 + \frac19 - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \ldots\]
Perlu diperhatikan bahwa $A = \ln{2}$ (Nilai ini didapat dari maclaurin series $\ln{(1+x)}$ di titik $x = 1$). Lalu perhatikan bahwa
\[ A + B = 2 \left( 1 + \frac13 - \frac14 - \frac16 + \frac17 + \frac19 - \frac{1}{10} - \ldots \right) \] \[ = 2 + \sum_{i = n}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}2}{(3n)(3n + 1)} = 2 + \frac23 \int_0^1 \ln{(1 + x^3)} \]
Tinggal kenakan integral parsial untuk menemukan nilai $B$.
No comments:
Post a Comment