Postingan ini melanjutkan soal-soal yang ada di bagian 1, saya menyarankan agar anda melihat bagian 1 terlebih dulu sebelum belajar ke bagian 2, jika anda belum melihat bagian 1 anda bisa klik
disini.
Soal No. 6
Apabila $f(x)$ dan $g(x)$ kedua-duanya kontinu di $[a, b]$ dan $f(x)$ ialah fungsi yang monoton naik. Jika $0 \le g(x) \le 1$, maka buktikan \[ \int_a^{a+\int_a^b g(t) \,dt} f(x) \,dx \le \int_a^b f(x) g(x) \,dx \]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Definisikan
\[h(s) = \int_a^{a+\int_a^s g(t) \,dt} f(x) \,dx - \int_a^s f(x) g(x) \,dx \implies \]
\[h'(s) = f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right)g(s) - f(s)g(s) \implies \]
\[h'(s) = g(s)\left(f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right) - f(s)\right)\]
Karena
\[a+\int_a^s g(t) \,dt \le a + (s - a) = s\]
maka haruslah
\[f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right) \le f(s)\]
ini mengakibatkan
\[h'(s) = g(s)\left(f\left(a+\int_a^s g(t) \,dt\right) - f(s)\right) \le 0\].
Sehingga didapat, $h(s)$ ialah fungsi yang monoton turun. Karena $h(a) = 0$, maka didapat $h(s) \le 0$ untuk $s \ge a$. Jadi,
\[h(s) = \int_a^{a+\int_a^s g(t) \,dt} f(x) \,dx - \int_a^s f(x) g(x) \,dx \le 0 \implies\]
\[\int_a^{a+\int_a^b g(t) \,dt} f(x) \,dx \le \int_a^b f(x) g(x) \,dx \]
Soal No. 7
Hitung nilai dari \[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta\]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Misalkan nilai dari integral di atas adalah $I$. Kemudian substitusi $u = \frac{\pi}{2} - \theta $ sehingga didapat
\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\cos{\theta})} \,d\theta \]
Ini mengakibatkan,
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\cos{\theta})} \,d\theta= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta}\cos{\theta})} \,d\theta$
$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{2\theta}} - \ln{2} \,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{2\theta})} \,d\theta - \frac{\pi \ln{2}}{2}$
$= \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta - \frac{\pi \ln{2}}{2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln{(\sin{\theta})} \,d\theta - \frac{\pi \ln{2}}{2} = I - \frac{\pi \ln{2}}{2}$
$\implies I = -\frac{\pi \ln{2}}{2}$
Soal No. 8
Apabila $f(x) = x^6 - 6x^2 + 6x - 7$ dan polinomial ini mempunyai $3$ titik kritis. Carilah persamaan parabola yang melalui tiga titik kritis itu
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Jelas bahwa $f'(x) = 6x^5 - 12x + 6$. Kemudian perlu diperhatikan bahwa fungsi $g(x) = f(x) - h(x)f'(x)$ tidak merubah titik - titik yang dilewati oleh parabola tersebut. Akibatnya, ambil $h(x) = \frac{x}{6}$ sehingga didapat
\[ g(x) = x^6 - 6x^2 + 6x - 7 - \frac{x}{6} (6x^5 - 12x + 6)\]\[ g(x) = -4x^2 + 5x - 7 \] Jadi, pers parabola yang melalui ketiga titik tersebut adalah $y = -4x^2 + 5x - 7$
Soal No. 9
Tentukan pasangan terurut $( \alpha, \beta)$ dengan $\beta \ne 0$ sedemikian hingga \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n^2]{1!2! \ldots n!}}{n^{\alpha}} = \beta \]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Karena
$ \ln{(1!2! \ldots n!)} = n\ln{1} + (n-1)\ln{2} + (n-2)\ln{3} + \ldots + \ln{n}$ \[= n\ln{\frac{1}{n}} + (n-1)\ln{\frac{2}{n}} + (n-2)\ln{\frac{3}{n}} + \ldots\] \[+ \ln{\frac{n}{n}} + \frac{n(n+1)}{2} \ln{n}\]
Hal ini mengakibatkan
\[ \frac{\ln{(1!2! \ldots n!)}}{n^2} = \frac{n+1}{2n} \ln{n} + \sum_{i=1}^n \frac{n-i}{n^2} \ln{\frac{i}{n}} \] \[= \frac{n+1}{2n} \ln{n} + \int_0^1 (1 - x) \ln{x} \,dx\]\[ = \frac{n+1}{2n} \ln{n} - \frac{3}{4}\]
Dari persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa limit akan konvergen jika $\alpha = \frac{1}{2}$. Sehingga, diperoleh $\beta = e^{-\frac34}$
Soal No. 10
Tentukan nilai maksimum dari \[ \int_0^1 f(x)^3 \,dx\] dengan batasan \[-1 \le f(x) \le 1, \quad \int_0^1 f(x) \,dx = 0\]
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Karena
\[\int_0^1 (f(x) - 1) \left( f(x) + \frac{1}{2} \right)^2 \,dx \le 0 \implies\]
\[ \int_0^1 f(x)^3 - \frac{3}{4} f(x) - \frac{1}{4} \,dx \le 0 \implies\]
\[\int_0^1 f(x)^3 \,dx \le \int_0^1 \frac{3}{4} f(x) + \frac{1}{4} \,dx = \frac{1}{4} \]
maka diperoleh nilai maks integral ialah $\frac{1}{4}$ dan kesamaan terjadi saat $f(x) = 1$ atau $f(x) = -2$.
Soal No. 11
Asumsikan $f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin{nx}}{n!}$. Tentukan $f\left( \frac{\pi}{3} \right)$
Solusi
Saya menyerah, tampilkan solusinya
Karena
\[ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin{nx}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \text{Im} \left(\frac{e^{ix}}{n!} \right) = \text{Im} \left( e^{e^{ix}} \right ) = e^{\cos{x}} \sin{\sin{x}} \]
maka diperoleh $f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{e} \sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
No comments:
Post a Comment